シャノン の 定理。 クロード・シャノン

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シャノン の 定理

概要 [ ] 波形の最大周波数の2倍を超えた周波数で標本化すれば完全に元の波形に再構成される。 標本化とは、数学的には連続関数の値からある点の値だけを標本として取り出して離散関数に変換する操作であり、与えられた連続関数と標本化関数の積を求めることと等しい。 1kHz よりも高い 周波数で標本化(1秒間に44100回超、値を取得)すれば、原信号を完全に復元することができる。 よって、連続信号の標本化においては、ナイキスト周波数 2 f よりも高い周波数で、標本化を行わなくてはならない。 なお、アナログ信号からデジタル信号への変換については、標本化のほかにが必要である。 標本化定理の証明 [ ] 標本化定理は、を用いると簡単に証明することができる。 この式から周波数スペクトルの図を描き検討すると証明ができる。 これは一般のから基礎づけられる。 これも歴史的には1つのの発見の例になっている。 歴史的背景 [ ] 標本化定理はが1928年に予想しており、これに対して1949年のの証明が有名である。 そのため、 シャノンの標本化定理、 ナイキスト=シャノンの標本化定理と呼ばれることが多い。 しかし、その後の研究で、シャノンとは独立に標本化定理の証明していた人物が次々と見つかった。 ソビエト連邦の(1935年)、ドイツのH. ラーベ(1938年)、日本の(1949年)の論文が発見され、それぞれ標本化定理の証明をした数学者として取り上げられた。 このうちコテルニコフは1999年にドイツのエドゥアルト・ライン財団から「標本化定理を最初に証明した」として基礎研究賞を受賞している。 また、標本化定理の展開式と同じものを補間法の公式として、イギリスのが1915年に証明している。 そのため、ホイッテーカーも標本化定理の証明者としてみなされる場合がある。 またホイッテーカーの証明方法からの日本のの論文(1920年)が、世界で最初の標本化定理の証明であると、2011年にブッツァーらによって発表されている。 脚注 [ ] []• 『物理学辞典』 培風館、1984年 関連項目 [ ]• - 1933年に標本化定理に関する論文を執筆していたソ連の無線工学者。 - ナイキストレートとも呼ばれる。 - 折り返しひずみとも呼ばれる。

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標本化定理

シャノン の 定理

概要 [ ] 波形の最大周波数の2倍を超えた周波数で標本化すれば完全に元の波形に再構成される。 標本化とは、数学的には連続関数の値からある点の値だけを標本として取り出して離散関数に変換する操作であり、与えられた連続関数と標本化関数の積を求めることと等しい。 1kHz よりも高い 周波数で標本化(1秒間に44100回超、値を取得)すれば、原信号を完全に復元することができる。 よって、連続信号の標本化においては、ナイキスト周波数 2 f よりも高い周波数で、標本化を行わなくてはならない。 なお、アナログ信号からデジタル信号への変換については、標本化のほかにが必要である。 標本化定理の証明 [ ] 標本化定理は、を用いると簡単に証明することができる。 この式から周波数スペクトルの図を描き検討すると証明ができる。 これは一般のから基礎づけられる。 これも歴史的には1つのの発見の例になっている。 歴史的背景 [ ] 標本化定理はが1928年に予想しており、これに対して1949年のの証明が有名である。 そのため、 シャノンの標本化定理、 ナイキスト=シャノンの標本化定理と呼ばれることが多い。 しかし、その後の研究で、シャノンとは独立に標本化定理の証明していた人物が次々と見つかった。 ソビエト連邦の(1935年)、ドイツのH. ラーベ(1938年)、日本の(1949年)の論文が発見され、それぞれ標本化定理の証明をした数学者として取り上げられた。 このうちコテルニコフは1999年にドイツのエドゥアルト・ライン財団から「標本化定理を最初に証明した」として基礎研究賞を受賞している。 また、標本化定理の展開式と同じものを補間法の公式として、イギリスのが1915年に証明している。 そのため、ホイッテーカーも標本化定理の証明者としてみなされる場合がある。 またホイッテーカーの証明方法からの日本のの論文(1920年)が、世界で最初の標本化定理の証明であると、2011年にブッツァーらによって発表されている。 脚注 [ ] []• 『物理学辞典』 培風館、1984年 関連項目 [ ]• - 1933年に標本化定理に関する論文を執筆していたソ連の無線工学者。 - ナイキストレートとも呼ばれる。 - 折り返しひずみとも呼ばれる。

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シャノン=ハートレーの定理とは

シャノン の 定理

クロード・シャノン 生誕 クロード・エルウッド・シャノン 1916-04-30 ペトスキー 死没 2001-02-24 (84歳没) 国籍 研究分野 および 研究機関 出身校 マサチューセッツ工科大学 博士課程 指導教員 フランク・ヒッチコック 博士課程 指導学生 () 主な業績 シャノンのスイッチングゲーム シャノン数 シャノン指数 シャノンの情報源符号化定理 シャノンの展開定理 シャノン=ウィーバーのコミュニケーションモデル ホイタッカー=シャノンの補間公式 主な受賞歴 (1966年) (1966年) (1972年) (1985年) クロード・エルウッド・シャノン( Claude Elwood Shannon, - )はの者、。 20世紀史における、最も影響を与えたの一人である。 の考案者であり、情報理論の父と呼ばれた。 情報、通信、暗号、データ圧縮、符号化など今日のに必須の分野の先駆的研究を残した。 やらとともに今日の技術の基礎を作り上げた人物として、しばしば挙げられる。 業績 [ ] デジタル回路設計の創始者 [ ] 1937年のでの修士論文「継電器及び開閉回路の記号的解析」 において、(ないし)がに対応することを示した。 すなわち、のオン・オフをに対応させると、スイッチの直列接続はに、並列接続はに対応することを示し、論理演算がスイッチング回路で実行できることを示した。 これは、・の概念の確立であり、それ以前のなどが職人の経験則によって設計されていたものを一掃し、数学的な理論に基づいて設計が行えるようになった。 どんなに複雑な回路でも、理論に基づき扱えるということはの実現に向けたとても大きなステップの一つだったと言える。 ハーバード大学教授の()は、この論文について「たぶん今世紀で最も重要で、かつ最も有名な修士論文」と評した。 ただし、わずかな時間差であるが、中嶋章による発表の方が先行しており(を参照)、独立な成果か否かは不明とされている。 情報理論の考案 [ ] 1948年在勤中に論文「」 を発表し、それまで曖昧な概念だった「」 information について定量的に扱えるように定義し、情報についての理論()という新たな数学的理論を創始した。 情報の量()をの起こる(生起確率)によって定義し、エントロピー(平均情報量)を次のとおりに定義した。 また、情報量の単位としてを初めて使用した。 そして、(雑音)がないで効率よく情報を伝送するための(「」または「シャノンの第一基本定理」)と、ノイズがある通信路で正確に情報を伝送するための(「」または「シャノンの第二基本定理」)という現在のでの最も重要な概念を導入した。 これらはそれぞれの分野と誤り訂正符号の分野の基礎理論となっている。 通信路符号化定理は単一通信路あたりの伝送容量に上限があることを意味する。 これらの定理は現在、などでの通信技術の基礎理論となっており、その後のと呼ばれるの急速な発展に結びついている。 標本化定理は1928年にによって予想されており、またシャノンの証明発表の同時期に証明をした人物が複数存在するが、シャノンのものが最も有名であり、英語圏では「ナイキスト=シャノンの標本化定理」という名前で知られている(詳しくはを参照)。 標本化定理は、現在、を始めとしたあらゆる技術の基礎定理となっている。 暗号理論に関する先駆的成果 [ ] 1949年に論文「秘匿系の通信理論」 を発表し、を利用すると情報理論的に解読不可能なが構成でき、情報理論的に解読不可能な暗号はワンタイムパッドの利用に限ることを数学的に証明した(現代の暗号研究で考察されているな暗号ではなく、な暗号を考察している点に注意)。 シャノンはこの論文で、暗号の(暗号化方法)が知られてもなお安全である暗号(参照)について考察しており、はじめて暗号について数学的分析を行った。 シャノンのチェスプログラム [ ] 1949年にに関する画期的な論文「チェスのためのコンピュータプログラミング」 を発表し、力ずくの総当たりでなくコンピュータがをする方法を示した。 コンピュータがどの駒をどう移動するかを決定するのにシャノンが用いた方法が、に基づいただった。 評価関数は、駒の価値や、駒の位置の価値、移動の価値などをすべて数値化して「局面」の価値を評価するものであり、シャノンはその後のゲーム展開を()に分類してどの着手がもっとも良いかを探索する方法について考察している。 この論文はコンピュータゲームでのコンピュータの思考プログラム設計の原典となった。 受賞歴 [ ]• 1940 アルフレッド・ノーブル賞()• 1949• 1955 フランクリン・インスティテュート() スチュアート・バランタイン・メダル• 1956 リサーチ・コーポレーション賞• 1962 栄誉賞• 1962 マービン・J・ケリー賞• 1966• 1966• 1967 ゴールデンプレート賞• 1972 (イスラエル)• 1978 ジョゼフ・ジャカール賞• 1978 ハロルド・ペンダー賞• 1985 ゴールドメダル• 1985 (日本)• 1991 エドワード・ライン賞 栄誉 [ ]• 1954 修士号 MS• 1961 名誉博士号• 1962 名誉博士号• 1964 名誉博士号• 1964 名誉博士号• 1970 名誉博士号• 1975 外国会員• 1978 名誉博士号• 1982 名誉博士号• 1984 名誉博士号• 1987 名誉博士号• 1991 名誉博士号• 2004 入り 脚注 [ ]• コンピュータ「技術」の基礎を作り上げた人物として挙げられる、ということは事実であるが(特に一般人は、「IT」というバズワードの T が技術を意味しているために)、チューリングやノイマンについても同じことが言えるが、技術への貢献以上に、まず第一に「理論への貢献」と、コンピュータの専門家や科学史家ならば言うであろう。 Claude Shannon, "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits", Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering, 1940. Claude Shannon, "A Mathematical Theory of Communication", Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379—423 and 623—656, 1948. Claude Shannon and Warren Weaver, The Mathematical Theory of Communication, The University of Illinois Press, 1949. 出典はを参照。 論文の中で、用語 "bit" を考案したのはだとしている。 およびでは単位としてビットの代わりに Sh を使うことにしているが、現在のところあまり一般的ではない。 Claude Shannon, "Communication Theory of Secrecy Systems", Bell System Technical Journal, vol. 28, pp. 656—715, 1949. Claude Shannon, "Programming a Computer for Playing Chess", Philosophical Magazine, ser. 7, vol. 41, no. 314, 1950. 著書 [ ]• コミュニケーションの数学的理論、C. シャノン、W. ウィーヴァー、(The Mathematical theory of communication、E. Shannon、Warren Weaver、 C 1967 by The University of Illinois Press. )訳者:長谷川淳、井上光洋、。 通信の数学的理論 、Warren Weaver, Claude Elwood Shannon, 植松 友彦 翻訳 、 、、価格1260円。 上記の再翻訳、文庫版。 関連項目 [ ]• :情報量の単位• (シャノン-ファノ符号、Shannon-Fano code)• Information theory• Nyquist-Shannon sampling theorem• Shannon-Hartley law• (Shannon diagram)• One-time pad• 外部リンク [ ]• (受賞ページ)• (全文)• (修士論文)•

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